종단연구에서 다층모형을 사용하면 학생(또는 피험자)들이 시간이 경과함에 따라서 어떻게 성장하는지 파악할 수 있을 뿐만 아니라, 학생 내의 변화와 학생들 간의 차이도 파악할 수 있다. 종단연구의 상황에서도 횡단연구에서 사용되었던 다층모형들을 적용할 수 있다.
다층모형의 종류
다층모형의 종류는 크게 네 가지로 다음과 같다.
1) 무선효과 분산분석 모형(Random Effect ANOVA Model)
2) 공분산 다층모형(Means as Outcomes Model)
3) 무선효과 회귀계수 무조건 모형(Random Coefficients Model)
4) 무선효과 회귀계수 조건 모형(Intercepts and Slopes as Outcomes Model)
종단연구에 활용되는 일반적인 다층모형은 다음과 같은 형태를 갖는다.
식 (1)
위에서 i 는 학생이나 피험자를 의미하고, a_{ti} 는 학생 의 t 시점에서의 나이 등 시간의 경과를 나타내고, \pi_{pi} 는 P차 다항식으로 성장궤적을 나타내는 계수이다.
상황: 300명의 초등학생을 대상으로 3학년부터 6학년까지 4년 동안 해마다 같은 날짜에 사회정서역량을 측정하고, 그 결과를 분석하는 종단연구를 수행한다고 가정해 보자. Y는 사회정서적 역량이고, SES 는 학생 가정의 사회경제적 지위이다.
1) 무선효과 분산분석 모형(Random Effect ANOVA Model)
종단연구에서 사용되는 무선효과 분산분석 모형은 식 (1)에서 a=0 이다. 따라서 무선효과 분산분석 모형을 통해서는 시간이 경과함에 따른 학생들의 성장 궤적에 대해서는 파악할 수 없지만, 시간의 경과에 따른 학생 내의 차이와 학생간의 차이가 어느 정도인지는 분석할 수 있다.
일반적인 다층모형과 마찬가지로 1, 2 수준모형으로 구분할 수 있다.
1 수준 모형은 학생 내(within-subjects) 모형 또는 반복 측정(repeated-observations) 모형이며, 2 수준 모형은 학생 간(between-subjects) 모형 또는 학생 수준(person-level) 모형이다.
1 수준(개인 내) 모형:
2 수준(개인 간) 모형:
1수준과 2수준 통합 모형:
Y 는 학년에서 초등학생 i 의 사회정서역량 점수이다.
\pi_{0i} 는 초등학생 가 3학년부터 6학년까지의 모든 사회정서역량 점수의 평균, 즉 초등학생 i 가 가질 수 있는 사회정서역량 점수의 평균이다.
e_{it} 는 t 학년에서 초등학생 i 의 잔차를 의미한다. 따라서 초등학생 i 의 사회정서역량 점수가 초등학생 i 의 일반적인 사회정서역량 점수로부터 얼마나 차이가 나는지 나타낸다.
\beta_{00} 는 \pi_{0i} 의 평균이고, 초등학교 3학년부터 6학년까지 측정된 사회정서역량 점수의 전체 평균점수이다.
\tau_{00} 는 r_{00} 의 분산, 초등학생 간 사회정서역량 점수의 분산이다.
집단 내 상관계수(ICC : Intraclass Correlation Coefficient)는 학생들의 사회정서역량 점수에서 몇 %가 초등학생 간 차이의 효과인지를 제시하는 지수이다. 집단 내 상관계수를 계산하는 식은 아래와 같다.
ICC를 통해서 시간에 따른 학생들의 사회정서역량의 변화에서 학생들 간의 차이에 의해서 설명되는 부분을 확인할 수 있다.
2) 공분산 다층모형(Means as Outcomes Model)
종단연구에서 사용되는 공분산 다층모형도 식 (1)에서 a=0 이다. 따라서 종단연구에서 사용되는 공분산 다층모형도 무선효과 분산분석 모형과 마찬가지로 개별 학생들의 성장궤적은 파악할 수 없지만, 학생들의 변화에 있어서 학생 내의 차이와 학생 간의 차이가 어느 정도인지를 분석할 수 있으며, 추가적으로 학생들의 간의 차이를 설명할 수 있는 학생수준의 독립변수를 통제할 수 있다.
1 수준(개인 내) 모형:
2 수준(개인 간) 모형:
종단연구에서 활용되는 무선효과 분산분석 모형에서와 마찬가지로 Y 는 t 학년에서 초등학생 의 사회정서역량 점수이고, \pi_{0i} 는 초등학생 i 가 3학년부터 6학년까지의 모든 사회정서역량 점수의 평균이며, e_{it} 는 t 학년에서 초등학생 의 잔차이며, 초등학생 i 의 사회정서역량 점수가 초등학생 의 일반적인 사회정서역량 점수로부터 얼마나 차이가 나는지 나타낸다.
무선효과 분산분석 모형과의 차이는 \beta_{01} 이며, 고정효과는 \beta_{00} 과 \beta_{01} 고, 무선효과는 e_{it} 와 r_{it} 이고, 분산성분은 \sigma^2 과 \tau_{00} 이다.
\beta_{00} 는 2 수준 모형의 절편으로, 초등학생 가정의 사회경제적 지위인 SES_i 가 0일 때의 사회정서역량의 평균점수이다. \beta_{01} 은 초등학생 가정의 사회경제적 지위가 한 단위 증가할 때의 사회정서역량의 평균 점수의 차이를 나타낸다. \sigma^2 은 초등학생 내에서 사회정성역량 점수의 분산을 나타내고, \tau_{00} 은 초등학생 간 평균 사회정서역량 점수의 분산을 의미한다.
1 수준과 2 수준 통합 모형
위의 식에서 초등학생의 사회정서역량 점수는 평균이 \beta_{00}+\beta_{01}SES_i 이고 분산이 \tau_{00}+\sigma^2 인 정규분포를 취하게 된다. \beta_{00} 는 SES_i 가 0일 때의 사회정서역량 점수의 평균을 나타내고, \beta_{01} 은 SES_i 가 한 단위 증가했을 때의 초등학교 3학년부터 6학년까지의 평균 사회정서역량 점수의 차이를 의미한다.
3) 무선효과 회귀계수 무조건 모형(Random Coefficients Model)
무선효과 회귀계수 무조건 모형(Random Coefficients Model)은 2수준 모형에서 절편과 기울기에서 무선효과가 포함된다는 특징이 있다. 무선효과 회귀계수 무조건 모형은 식(1)에서 a_{ti} 만 모형에 통제할 경우에 선형성장모형(linear growth model)이 된다. 따라서 학생들의 수학성적이 선형으로 증가하는지를 분석하는 모형이다.
1 수준(학생 내) 모형:
2 수준(학생 간) 모형:
1 수준 모형에서 a_{ti} 는 시간의 경과를 의미하는 변수이고, \pi_{0i} 은 절편으로 초기시점에서의 학생의 수학성적을 의미하며, \pi_{1i} 은 기울기로 시간에 따라서 어느 정도로 성장하는지에 대한 정보를 나타낸다. 그리고 \pi_{0i} (절편)의 분산인 \tau_{00} 은 초기시점에서의 학생들의 수학성적의 차이를 나타내고, \pi_{1i} (기울기)의 분산인 \tau_{11} 은 학생들의 성장에 있어서의 차이를 나타낸다. 또한 \pi_{0i} (절편)과 \pi_{1i} (기울기)의 공분산은 r_{0i} 와 r_{1i} 의 공분산과 같다. 즉, Cov(\pi_{0i}, \pi_{1i})=Cov(u_{0i}, u_{1i})=\tau_{01} 이다. 따라서 \tau_{01} 이 통계적으로 유의하게 0과 다르고 그 값이 0보다 크다면, 초기시점에서 수학성적이 높은 학생들이 수학성적의 성장이 더 큰 것을 의미하고, 반면에 \tau_{01} 이 통계적으로 유의하게 0과 다르고 그 값이 0보다 작다면, 초기시점에서 수학성적이 높은 학생이 수학성적의 성장이 더 작다는 것을 의미한다.
4) 무선효과 회귀계수 조건 모형(Intercepts and Slopes as Outcomes Model)
무선효과 회귀계수 조건 모형(Intercepts and Slopes as Outcomes Model)은 무선효과 회귀계수 무조건 모형과 마찬가지로 2 수준 모형에서 절편과 기울기에서 무선효과를 포함할 뿐만 아니라, 2 수준 모형에서 독립변수를 통제한다는 특징이 있다.
1 수준(개인 내) 모형:
2 수준(개인 간) 모형:
위의 2 수준 모형에서 는 학생 수학성적의 초기시점에서의 차이와 수학성적의 성장에서의 차이를 설명한다. 또한 무선효과 회귀계수 조건 모형에서도 절편, 기울기, 절편의 분산, 기울기의 분산, 절편과 기울기의 공분산은 무선효과 회귀계수 무조건 모형에서의 해석과 같다. 무선효과 회귀계수의 무조건 모형과 조건 모형을 통해서 선형성장모형을 살펴보았지만, 식 (1)을 활용하여 다양한 비선형성장모형도 추정할 수 있다.