이전 포스팅에서는 맥락효과의 의미에 대해서 심리학적으로 그리고 다층모형을 통해서 통계적으로 살펴보았다.
이번에는 다층모형을 활용하여 맥락효과를 산출하는 방법을 알아보고자 한다.
1. 회귀분석에서 맥락효과 산출
일반적인 회귀분석에서 맥락효과는 개인의 특성을 나타내는 변인을 회귀모형에 통제한 후에, 개인의 특성을 나타내는 변인을 집단수준으로 통합하여 이 집단수준의 변인이 종속변인에 미치는 영향력을 의미한다. SES가 학생의 사회경제적 배경을 의미하고, SES를 학교수준으로 통합한 새로운 변수 \overline{SES}_{ij} 를 사용해서 다음과 회귀모형을 만들 수 있다.
- Y_{ij}=\beta_{0}+\beta_{1}(SES_{ij}-\overline{SES}_{.j})+\beta_{2}\overline{SES}_{.j}+r_{ij}
위의 모형은 SES의 집단평균 중심화를 사용한 모형이다. 위의 모형에서 맥락효과는 \beta_{2}-\beta_{1} 이다. 즉 집단수준에서 SES가 학업성취도 Y에 미치는 영향력에서 개인수준에서의 SES가 Y에 미치는 영향력을 빼면, 맥락효과를 구할 수 있다. 즉, 맥락효과는 다음과 같이 쓸 수 있다.
- \beta_{c}=\beta_{b}-\beta_{w}=\gamma_{01}-\gamma_{10}
2. 다층모형에서 맥락효과 산출
학생이 학교에 내재된 다층자료를 분석하는 경우를 가정해 보자. 가정의 사회경제적 지위(SES)가 같은 두 학생이 서로 다른 중학교에 다니고 있을 때, 그들의 학업성취도에 차이가 난다면, 그러한 차이에서 두 학생이 다니는 학교의 효과는 어느 정도인지 확인해 볼 필요가 있다. 즉, 학교수준의 SES가 학생의 학업성취도에 영향을 미치는지를 다층 모형을 통해서 계산해 볼 수 있다. 여기서 학교수준의 SES가 학생의 학업성취도에 영향을 미친다면 이는 학교수준 SES의 맥락효과가 있다는 것을 뜻한다.
맥락 또는 구성효과(contextual or compositional effect)는 개인 또는 학생수준의 특성들이 통합되어서 집단 수준의 특성이 되는 것을 의미한다. 맥락효과는 학생수준에서 특정 변인( SES_{ij} )을 1수준 모형에 통제하고, 학생수준 변인에 통제된 이 변인을 다시 학교평균으로 통합한 새로운 학교수준 변인( \overline{SES}_{ij} )을 만들어서 2수준(학교수준) 모형에 통제하였을 때, 집단수준으로 통합된 새로운 변인과 종속변인의 연관성을 의미한다(Raudenbush & Bryk, 2002, pp.139-140).
SES 의 맥락효과는 SES 가 같은 두 학생이 학교 수준의 평균 SES , 즉 \overline{SES}_{.j} 가 1 표준편차 차이가 나는 다른 학교에 다닐 때, 기대되는 학업성취도 점수의 차이를 의미한다. 즉, 맥락효과는 \overline{SES}_{.j} 가 1 표준편차 차이가 날 때의 학업성취도 점수의 증가분을 의미한다. 따라서 학생수준에서 SES 가 동일한 두 학생이 있을 때, 이들의 학업성취도인 Y_{ij} 의 차이는 \overline{SES}_{.j} 에 영향을 받으며, \gamma_{01}-\gamma_{10} 가 양수라면, \overline{SES}_{.j} 가 클수록 학업성취도가 높을 것이다. 따라서 SES 가 높은 학생들이 많은 학교에 다니는 학생의 학업성취도가 더 높을 것이라고 해석할 수 있다.
[그림 1] SES를 학교평균으로 중심화를 했을 때, 학교평균 SES의 맥락효과(Raudenbush와 Bryk(2002, p.140)의 연구에 제시된 그림을 수정하여 제시함)
위의 그림에서 \beta_{b} 는 학교수준 모형에서의 기술기( \gamma_{01} ), 즉 학교평균 SES와 학교평균 수학점수의 관계를 의미하고, \beta_{w} 는 학생 수준모형에서의 기울기( \gamma_{10}), 즉 단위학교 내에서 학생 SES와 수학점수의 관계를 의미한다. 그리고 \beta_{c} 는 맥락효과를 의미한다. 이처럼, 학교평균으로 중심화하였을 때의 맥락효과( \beta_{c} )는 학교수준의 기울기에서 학생수준의 기울기를 빼서 구할 수 있다( \beta_{c}=\beta_{b}-\beta_{w}=\gamma_{01}-\gamma_{10} ).
위에서 설명한 내용을 수식으로 정리하면 다음과 같다.
가. 집단평균 중심화를 사용한 모형
1 수준(학생 수준) 모형 :
- Y_{ij}=\beta_{0j}+\beta_{1j}(SES_{ij}-\overline{SES}_{.j})+r_{ij}
2 수준(학교수준) 모형:
- \beta_{0j}=\gamma_{00}+\gamma_{01}(\overline{SES}_{.j})+u_{0j}
- \beta_{1j}=\gamma_{10}
위의 모형에서 ( SES ) 는 학생 및 학교 모형에 모두 포함되어 있다. 학생 모형에서는 집단평균 중심화 (SES_{ij}-\overline{SES}_{.j}) 가 포함되어 있다. 2수준 모형에서는 SES 의 집단 평균 \overline{SES}_{.j}) 를 통제하고 있다.
식(1)의 1수준 모형과 식(2)의 2수준 모형을 통합하면 다음과 같다.
- Y_{ij}=\gamma_{00}+(\gamma_{01}-\gamma_{10})\overline{SES}_{.j}+u_{0j}+\gamma_{10}\overline{SES}_{ij})+r_{ij}
위의 식(3)에서 \gamma_{01}-\gamma_{10} 은 \overline{SES}_{.j}) 의 맥락효과이다. 따라서 맥락효과는 학생수준 변인인 SES_{ij}) 를 통제하였을 때, 학교수준 변인인 \overline{SES}_{.j}) 가 학생의 학업성취도, Y_{ij} 에 미치는 영향력을 의미한다.
나. 중심화를 사용하지 않은 모형
식(1)과 식(3)에서는 집단평균 중심화를 사용하였지만, 중심화를 사용하지 않거나 전체평균 중심화를 사용할 경우의 맥락효과를 살펴보면 다음과 같다. 먼저 중심화를 사용하지 않은 모형은 다음과 같다.
1 수준(학생 수준) 모형 :
- Y_{ij}=\beta_{0j}+\beta_{1j}SES_{ij}+r_{ij}
2 수준(학교수준) 모형:
- \beta_{0j}=\gamma_{00}+\gamma_{01}(\overline{SES}_{.j})+u_{0j}
- \beta_{1j}=\gamma_{10}
식(4)와 식(5)를 통합하면 식(6)과 같다.
- Y_{ij}=\gamma_{00}+\gamma_{01}\overline{SES}_{.j}+u_{0j}+\gamma_{10}SES_{ij})+r_{ij}
식(6)에서 학생수준 변인인 SES_{ij} 를 통제되었을 때, 학교수준 변수인 \overline{SES}_{.j} 가 학생의 학업성취도인 Y_{ij} 에 미치는 영향력을 의미하는 맥락효과는 \gamma_{01} 이 된다.
다. 전체평균 중심화를 사용한 모형
전체평균 중심화 모형은 아래의 식(7)과 식(8)과 같다.
1 수준(학생 수준) 모형 :
- Y_{ij}=\beta_{0j}+\beta_{1j}(SES_{ij}-\overline{SES}_{..})+r_{ij}
2 수준(학교수준) 모형:
- \beta_{0j}=\gamma_{00}+\gamma_{01}\overline{SES}_{.j}+u_{0j}
- \beta_{1j}=\gamma_{10}
식(7)에서 의 전체평균, 은 상수와 같고, 중심화를 하지 않은 식(6)에서는 가 0이라고 할 수 있다. 반면에 식(1)과 식(3)에서 의 집단평균 은 각 학교마다 다른 값을 가지는 변수이다. 식(7)과 식(8)을 통합하면 식(9)와 같다.
- Y_{ij}=\gamma_{00}+\gamma_{01}\bar{SES}_{.j}+u_{0j}+\gamma_{10}(SES_{ij}-\overline{SES}_{..})+r_{ij}
위의 식에서도 학생수준 변인인 SES_{ij} 를 통제하였을 때, 학교수준 변수인 \overline{SES}_{..}) 가 학생의 학업성취도인 Y_{ij} 에 미치는 영향력을 의미하는 맥락효과는 \gamma_{10} 이 된다.
따라서 다층모형에서 중심화를 하지 않거나, 전체평균 중심화를 사용할 경우에는 2수준 모형에서의 기울기( \gamma_{01} )가 맥락효과가 된다.